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        數學認知中的具身進路及其哲學觀初探
        2021年06月08日 11:18 來源:《科學技術哲學研究》 作者:王東/吳彤 字號
        2021年06月08日 11:18
        來源:《科學技術哲學研究》 作者:王東/吳彤

        內容摘要:

        關鍵詞:

        作者簡介:

        An Embodied Approach to Mathematical Cognition and Its Philosophical View

          作者簡介:王東(1983- ),男,安徽合肥人,哲學博士,北京工商大學馬克思主義學院講師,研究方向為認知科學哲學、人工智能哲學、復雜性科學哲學(北京 100048);吳彤(1954- ),男,內蒙古通遼人,清華大學人文學院教授,研究方向為科學實踐哲學、復雜性科學哲學(北京 100084)。

          原發信息:《科學技術哲學研究》(太原)2020年第20206期 第34-39頁

          內容提要:數學認知中基于認知語言學的具身進路認為,數學是人基于天生的簡單算術能力,通過概念隱喻以及概念混合等源于日常實踐的基本認知機制,把日常身體實踐經驗中的推理結構以及物質世界的空間邏輯結構映射到抽象的概念域而形成的。該理論持有一種自然主義的反實在論,其核心在于把數學對象以及數學思想看作一種認知的過程而不是抽象的實體,這種認知過程與包含身體在內的物質世界的某些結構和過程同構。

          An embodied approach to mathematical cognition points out that mathematics is based on the natural ability of simple arithmetic,i.e.,through conceptual metaphor and conceptual blending,which are derived from the basic cognitive mechanism of daily practice,mapping the reasoning structure of daily physical practice experience and the spatial logical structure of the material world to abstract domain.This theory holds a naturalistic anti-realism,the core of which is to regard mathematics as a cognitive process rather than an abstract entity.Furthermore,the process is isomorphic to some structures and processes in the physical world.

          關鍵詞:具身數學認知/概念隱喻/認知過程同構  embodied mathematical cognition/conceptual metaphor/cognitive process isomorphism

          標題注釋:[基金項目]國家社會科學基金重大課題“科學實踐哲學與地方性知識研究”(13&ZD068)

         

          從數學思想史以及數學哲學的角度研究數學已有很久的歷史,并獲得了豐碩的成果。但是數學自古以來就被認為是人類心智思辨的產物,與實踐無關。自20世紀中期認知科學大發展以來,人們又開始從認知科學的角度研究數學,以此提供關于數學本質的看法。但對數學認知的研究通常是運用心理學以及神經科學的方法,對個體在簡單的數學活動中的行為表現和生理狀態進行經驗性研究,力圖把數學認知現象與某些物質狀態或過程(如大腦活動)聯系起來,卻很少研究復雜的數學思想的認知機制及其與數學實踐的關系。一種基于認知語言學的具身的數學認知進路認為,可以通過研究日常的認知機制(即日常生活中用到的認知機制)在數學思想中的作用,研究數學思想與人的實踐和具身的關系,從而討論數學的發展機制。作者發現該理論的核心在于把數學對象及思想看作一種與物質世界同構的認知過程,以此來解釋數學的各種性質。但由于其理論核心機制的構造缺乏足夠的經驗證據,因此還有待認知神經科學進一步的發展來驗證,同時該理論的數學哲學觀也面臨著說明數學本身局限性的問題。

          一 數學認知及其具身進路

          數學認知是認知科學的一個子領域,主要研究人以及動物對于數、數學(針對人類)的認知過程及其神經基礎。數學認知是高度跨學科的研究領域,相關學科有認知心理學、發展心理學、認知神經科學以及認知語言學。數學認知研究的主要問題包括動物如何進行數量表征,嬰兒如何習得并理解數字,人類如何聯系語言符號和數量(magnitude),數字(number)認知能力如何構成復雜的計算能力,人類對于數字的理解是如何擴展到更大更復雜的領域,數學結構如何在人腦中表征等等。

          基于表征計算主義的第一代認知科學理論認為物質性的身體對于理解心靈和認知是次要的。而被稱為第二代認知理論的具身認知則認為,包括腦在內的物質性身體在認知活動中有重要的因果性作用以及物質構成性作用。當前的具身數學認知研究可以分為兩種,第一種是基于心理學和認知神經科學對數學認知能力進行經驗性的研究,第二種是基于認知語言學中概念隱喻(concept metaphor)框架對數學思想本身的研究。經驗性的研究主要通過行為觀察,神經影像以及神經心理學等方法來研究人的基礎數學能力以及數字操作能力,如數字識別和對比,簡單的算術和代數等。例如,研究與“數數”(shǔ shù)這種簡單認知活動相關的腦神經區域,與“手指活動”這類實踐性活動相關的腦神經區域之間的聯系。經驗性的研究積累了大量關于數字處理能力的具身性證據,但是這類研究是分散的,研究對象是單個數學認知過程,目前還沒有提出一個關于數學認知能力的統一理論[1]。第二種具身數學認知主要是借助于認知語言學中概念隱喻方法來研究數學認知的具身特性。斯法德(Anna Sfard)首先用這種方法來解釋我們如何依賴日常的物理性的推理(physical inference)來理解數學概念[2],其后拉科夫(G.Lakoff)和努茨(R.E.Nunez)系統的研究了概念隱喻在我們把基本的數學能力擴展到復雜的數學概念系統中的作用,通過概念隱喻這個認知機制把物理性質的源域(source domain)與抽象的概念域聯系起來。從機制上看,這種概念隱喻是無意識的認知機制,從抽象意義上說,這是一種保持推理結構(inference structure)不變的映射,因此它可以讓我們基于日常身體性的經驗來創造和理解更加抽象的概念。運用這種方法,他們給出了一個解釋從初等的數學能力到高階的數學思想的“統一”理論,但這一理論同時被批評缺乏經驗證實。

          二 基于認知語言學的具身進路

          認知語言學家拉科夫與心理學家努茨在《數學從哪里來——具身心智如何產生數學》一書及系列論文中認為,數學(至少是數字系統和算術)既不是人腦的一種功能,也不是外在于人的客觀的抽象存在,而是人類兩種認知機制交互作用的產物:一種是天生的簡單算術能力;另一種是把日?;顒拥耐评斫Y構以及物理世界的空間邏輯結構映射到抽象概念結構上的能力,即數學是具身(embodied)的[3]。他們基于當代認知科學對于數字認知的研究成果,運用認知語言學的概念框架,使用概念分析的方法,逐步展現人類是如何從先天能力和實踐發展出復雜的數學體系。

          現代認知科學發現,我們日常的各種認知活動大部分是無意識的。在日常思維中,特別是在運用抽象概念系統的思維中,隱喻的思維方式起到關鍵的作用。通過隱喻,我們可以用相對具體的概念(可能是非符號化的)來構造和刻畫相對抽象的概念。拉科夫和努茨認為數學概念作為一種抽象的概念同日常的抽象概念一樣,也是基于隱喻的,而具身數學的任務就是研究數學概念及其思想用到多少以及如何使用像隱喻這樣的無意識的認知機制。他們認為與數學相關的認知機制主要有如下幾種:(1)意象圖式(Image Schema),(2)體圖式(Aspectual Schemas),(3)概念隱喻,(4)概念混合。這里先簡單介紹和分析比較重要的意象圖式與概念隱喻,以及如何基于先天算術能力,通過概念隱喻擴展到算術。

          (一)意象圖式

          認知語言學研究發現,幾乎所有的人類語言中,關于空間關系的概念都可以分解為一些普適的“概念原語”(conceptual primitives),它們是一種前語言的經驗結構,既是知覺性的,又是概念性的,稱之為意象圖式。盡管不同語言中關于空間關系的表達方法不同,但是構成它們的意象圖式卻幾乎是通用的。以表述“在……之上”的這個空間關系為例,德語中的“在墻上”和“在桌子上”使用的是不同的方位詞,英語和漢語中則用的是同一個詞,但這些語言中表達空間關系的概念原語是基本相同的。以英語中表達“在……之上”的方位介詞“on”為例,其可以分解為“上圖式”(書放在桌子上),“接觸圖式”(書與桌子接觸),“支撐圖式”(書被桌子支撐)。雖然英語中的“on”無法被準確地對應到其他語言中的一個詞,但是構成它的三個圖式卻可以在任何語言的方位詞中找到,即這些“意向圖式”是通用的,人類對于空間方位的表達有一種共同的基礎。很多意象圖式對于數學認知能力的構成都非常重要,例如一個被稱為“容器圖式”的意象圖式,在構成“內”和“外”這樣的空間關系概念,以及“集合”這個概念中起到中心作用。此圖式有三個部分:容器內部、容器外部和容器界限,人可以直接感知到空間中有類似于這種空間內部、外部和界限的結構,基于這種感知,我們才會有“在……之內”和“在……之外”這些概念。意向圖式表達的是空間的邏輯關系,比如我們在空間中看到三個玻璃杯A,B,C,如果A在B中,B在C中,那么我們會直接得出A在C中,而不用進行推理。意向圖式的這種認知機制讓我們可以直接把握到物體的空間結構,更重要的是意向圖式又是概念性的,是組成語言概念的成分,所以它連接了語言和空間感知,把“空間邏輯結構”帶到了用語言表達的抽象概念中。

          (二)概念隱喻

          認知語言學中的隱喻,不僅是一種語言修辭現象,更是一種思維方式,是把某一類事物的結構映射到另一類事物上的無意識的認知機制。比如我們常說“你的論證太跳躍”,但論證本身是一種認知活動,是不會“跳躍”的。這句話其實就是說這個論證過程中間省略了一些步驟,就類似我們通?!疤S”一樣,這種隱喻的說法用日常的身體“跳躍”的行為來刻畫另一種行為[4]。隱喻之所以重要是因為它使抽象概念成為可能,通過隱喻我們可以用相對具體的、與人類日常生活實踐相關的概念來構造和刻畫相對抽象的概念。認知語言學詳細地研究了這類認知機制,發現日常語言和思維中有各種各樣的隱喻,且都是無意識的自動的被使用。而隱喻之所以有結構映射的能力,主要是因為類似意象圖式的經驗結構可以在概念隱喻的映射中被保持,這樣通過意象圖式得來的空間邏輯,就可以通過多重隱喻而仍保持推理結構,從而體現在抽象概念網絡的結構中。

          (三)從先天數字能力到算術

          拉科夫與努茨認為數學是具身的,因為像意象圖式和概念隱喻這類底層的認知機制在數學認知中起到關鍵作用,而它們又都與我們的感知運動系統及日常實踐活動緊密聯系。他們認為人類的數學認知能力是由天生的簡單的數學認知能力,通過非數學的源于日常生活實踐的認知機制擴展而來的。首先從天生的認知能力擴展到相對復雜的算術與代數,再把對于數字的使用(算術與代數)擴展到其他的數學領域(例如幾何),從而擴展了其自身。例如對于平面幾何中“角”的數量化研究產生了三角幾何,對于“變化”的數量化的研究產生了微積分,對于幾何形式的數量化研究產生了解析幾何等。而數學之所以這么抽象,則是概念隱喻等機制多層次疊加的結果,這一過程在人類的數學發展史中歷經了幾個世紀。

          同很多其他動物一樣,人天生就有以下三個簡單算術能力[5]51:

          (1)感數(subitizing)的能力。感數的能力是指能迅速識別四以內的物體的數量。

          (2)簡單的算術能力(非語言)。即在感數的范圍內(一般是小于等于四)對于簡單形式的加和減的判斷。

          (3)數量表征(numerosity)的能力。即對于一個集合中的物體的數量有前后一致的粗略估計。

          這些天生的認知能力只能在一定的數量范圍發揮作用,人類嬰兒出生后所發展出來的“數數”的能力可以使這種能力擴展到四以外。但是上述兩種認知能力還只是算術的開始,真正的算術操作需要隱喻的能力和概念混合的能力。通過隱喻的能力,可以用各種日常經驗來概念化基數(cardinal)和算術操作。這些日常經驗包括對物體進行分組的經驗,對物體的部分-整體這種結構的經驗,對于空間(時間)上距離的經驗以及對于移動和位置的經驗等等,而這些均來自日常實踐。在概念隱喻的作用下形成各種不同的概念系統之后,概念混合的能力可以在不同的概念系統之間形成聯系和對應,把不同的概念隱喻結合在一起形成更復雜的隱喻。概念隱喻又可以分為兩種,分別是基礎隱喻(grounding metaphor)以及連接隱喻(linking metaphor)?;A隱喻把日常實踐經驗映射到抽象概念,例如把“使物體聚集成堆”這樣的經驗映射到“數量的加和”這樣的抽象概念(非語言的概念)。連接隱喻則把算術與數學的其他分支連接,例如“數是直線上的點”這個隱喻,就是用空間術語概念化算術,從而連接幾何和算術,這個連接隱喻把數字看成直線上的點從而形成了數軸的概念。

          概念隱喻是一種可以保持推理結構的映射,其保持推理結構的主要方法是通過在映射中保持“意象圖式”的結構。例如,我們要形成“物體的聚合”這個抽象概念,需要用到前文提到的“容器圖式”,把物體的空間結構概念化為一個“容器”,即有內部、外部和邊界的空間區域(無論是物理的還是想象的)。當我們用“物體的聚合”來概念化“數字”的時候,我們就把我們所感知到的空間中“物體的聚合”的邏輯結構投射到數字系統上。

          根據拉科夫與努茨的理論,從天生的簡單的算術能力到初等算術需要四種基本的隱喻能力:

          (1)算術是物體的聚合

          (2)算術是物體的建構

          (3)作為測量尺的算術

          (4)算術是沿某一路徑的運動

          以第一個隱喻“算術是物體的聚合”為例,這個隱喻是一個從物理對象的域到數字域的精確的映射,又由以下三部分組成:

          (1)作為源域的物體的聚合(基于我們通常的對物體分組的經驗)

          (2)作為目標域的算術(由“感數”以及“數數”等能力非隱喻的構建)

          (3)跨域映射(基于我們可以在各種物體的聚合中進行“感數”和“數數”)

          具體的映射結構可見表1[5]55:

          這個隱喻把我們日常經驗中基于感知運動系統的推理結構,以及被我們感知到的物質空間的邏輯結構,映射到基于我們天生的數學能力所構建的算術化的概念域上。從這個概念隱喻的源域——物體的聚合,到目標域——算術,是一種精確的結構映射。這種映射可以發展出很多推論,產生各種數學定理和“真理”。例如,假設有兩個聚合體A和B,A大于B,那么如果把聚合體C分別加到A和B上,那么我們通過經驗就可得出A與C的聚合大于B與C的聚合,這樣的結構映射到數字上,就產生了我們一般所謂的算術定律A+C大于B+C。算術中的大多數的定律都是這個隱喻的推論。

          通過第一個隱喻我們得到了自然數的算術,接著通過第二個隱喻即算術是物體的建構,我們可以擴展出分數的概念,通過第三個測量尺隱喻可以把數域擴展到無理數,而第四個隱喻則幫助我們擴展到復數。此外這種基于認知語言學的具身數學理論中還有單獨的構造性隱喻,用來構造像“零”以及“無窮”這樣概念。該理論的思想框架可以簡單歸為下圖(只包含從算術到解析幾何部分):

          圖1:具身數學的構造

          拉科夫與努茨的具身數學認知理論就是這樣一步步地用概念隱喻和概念混合等認知機制,從初等的算術開始構建整個數學。當然這種理論也受到很多數學家批評,認為他們把隱喻的作用擴展得太廣,雖然在初等算術的構建上引入認知語言學的方法是一種很好的嘗試,但是不能繼續擴展到整個數學體系。還有一種批評觀點認為這種方法根本就是錯誤的,假造了很多不存在的數學概念,例如在闡釋無窮概念的時候,就構造了一種叫作最初無窮小的概念(The first infinitesimal)[6]。

        作者簡介

        姓名:王東/吳彤 工作單位:

        轉載請注明來源:中國社會科學網 (責編:李秀偉)
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